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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje $x$ sólo una vez.
c) $f(x)=x+\ln(x), x>0$
c) $f(x)=x+\ln(x), x>0$
Respuesta
De nuevo, vamos a resolver este problema con los mismos razonamientos que venimos usando.
Reportar problema
Primero entendamos cómo se comporta la función en los extremos de su dominio:
$\lim_{x \to +\infty} x + \ln(x) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^+} x + \ln(x) = -\infty$
Si todavía te quedaste ahí recalculando con estos límites, acordate que, $\ln(+\infty) = +\infty$ y $\ln(0^+) = -\infty$
Ahora calculemos la derivada de $f$:
$f'(x) = 1 + \frac{1}{x}$
Vemos que $f'(x)$ es siempre positiva para $x > 0$. Esto nos dice que $f(x)$ es siempre creciente.
Dado que la función $f(x)$ es continua, monótona creciente y tenemos que $f(x) \to -\infty$ cuando $x \to 0^+$ y que $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to +\infty$, entonces a esta función no le queda otra opción que haber cortado el eje $x$ una sola vez.