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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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5. Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje xx sólo una vez.
c) f(x)=x+ln⁡(x),x>0f(x)=x+\ln(x), x>0

Respuesta

De nuevo, vamos a resolver este problema con los mismos razonamientos que venimos usando. 

Primero entendamos cómo se comporta la función en los extremos de su dominio:

lim⁡x→+∞x+ln⁡(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} x + \ln(x) = +\infty lim⁡x→0+x+ln⁡(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} x + \ln(x) = -\infty

Si todavía te quedaste ahí recalculando con estos límites, acordate que, ln⁡(+∞)=+∞\ln(+\infty) = +\infty y ln⁡(0+)=−∞\ln(0^+) = -\infty

Ahora calculemos la derivada de ff:

f′(x)=1+1xf'(x) = 1 + \frac{1}{x} Vemos que f′(x)f'(x) es siempre positiva para x>0x > 0. Esto nos dice que f(x)f(x) es siempre creciente. Dado que la función f(x)f(x) es continua, monótona creciente y tenemos que f(x)→−∞f(x) \to -\infty cuando x→0+x \to 0^+ y que f(x)→+∞f(x) \to +\infty cuando x→+∞x \to +\infty, entonces a esta función no le queda otra opción que haber cortado el eje xx una sola vez.
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